En realidad la distribución ji-cuadrada es la distribución muestral de s^2. O sea que si se extraen todas las muestras posibles de una población normal y a cada muestra se le calcula su varianza, se obtendrá la distribución muestral de varianzas.
Para estimar la varianza poblacional o la desviación estándar, se necesita conocer el estadístico X^2 Si se elige una muestra de tamaño n de una población normal con varianza , el estadístico:
tiene una distribución muestral que es una distribución ji-cuadrada con gl=n-1 grados de libertad y se denota X^2 (X es la minúscula de la letra griega ji). El estadístico ji-cuadrada esta dado por:
donde n es el tamaño de la muestra, s^2 la varianza muestral y la varianza de la población de donde se extrajo la muestra. El estadístico ji-cuadrada también se puede dar con la siguiente expresión:
Propiedades de las distribuciones ji-cuadrada
Los valores de X^2 son mayores o iguales que 0.
La forma de una distribución X^2 depende del gl=n-1. En consecuencia, hay un número infinito de distribuciones X^2.
El área bajo una curva ji-cuadrada y sobre el eje horizontal es 1.
Las distribuciones X2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden a la derecha; esto es, están sesgadas a la derecha.
Cuando n>2, la media de una distribución X^2 es n-1 y la varianza es 2(n-1).
El valor modal de una distribución X^2 se da en el valor (n-3).
La siguiente figura ilustra tres distribuciones X^2. Note que el valor modal aparece en el valor (n-3) = (gl-2).
La función de densidad de la distribución X^2 esta dada por:
Para x>0
Ejemplos:
Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía, suponga una población normal.
Solución:
Primero se calcula la desviación estándar de la muestra:
al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s^2= 0.286.
Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un = 0.05. Después con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X^2.
Se puede observar en la gráfica anterior que el valor de X^2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha.
Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es:
Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sólo en la gráfica. La interpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores referentes a estimación. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.
Cibergrafía:
http://www.itch.edu.mx/academic/industrial/estadistica1/cap03b.html
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